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Mathematik im Alten Ägypten
Einleitung: Das Wissen über die Mathematik
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Mathematik im Alten Ägypten
Einleitung: Das Wissen über die Mathematik
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Einleitung:
Das Wissen über die Mathematik Trotz des geringen Materials konnten die Fachwissenschaftler einiges über das damalige Wissen herausfinden. Es muss betont werden, dass das was wir heute in Erfahrung bringen konnten wahrscheinlich nur ein Bruchteil von dem ist, was die Mathematiker, Architekten und Ingeneure wirklich zu leisten vermochten, denn ohne das mathematische Wissen wäre es den Menschen wohl unmöglich gewesen zu einer derartigen Hochkultur, mit erstaunlichen Bauwerken und Monumenten zu avancieren. Die Dokumente aus der Zeit des Mittleren Reiches sind die ältesten die uns heute zur Verfügung stehen. Dies bedeutet aber keineswegs, dass im Alten Reich (oder noch früher) keine mathematischen Kenntnisse existierten. Vom Gegenteil dessen zeugt bereits der Bau der Pyramiden von Giseh oder Sakkara, denn ohne mathematische Grundlagen hätten Konstruktion, Planung und Bau nicht das werden können was sie heute noch sind. Die mathematischen Papyri die uns heute zur Verfügung stehen, sind sich im Aufbau ähnlich. Sie sind Anleitungen um praktische Aufgaben zu bewältigen, enthalten demnach Übungsbeispiele und ihre Lösungen. Sie sind - so A. Kamel in Kemet 4/2000 – sozusagen als Lehr- und Übungsbücher zu verstehen, da sie Schreibern und anderen beteiligten Leuten (wie Priestern oder Architekten) theoretische Aufgaben boten, welche sie im wirklichen Leben lösen und leisten mussten. Näheres zu den mathematischen Papyri: hier klicken
Da die Zahlen wie erwähnt in additiver Weise
geschrieben wurden, wurde die Zahl 24 in folgender Weise geschrieben:
Die Ägypter kannten sowohl die Addition als auch die Subtraktion, was nicht verwundert, da man ja bei fast allen mathematischen Tätigkeiten des Alltags zumindest zusammen zählen können musste. Neben diesen beiden Rechenoperationen kannten sie aber auch die Multiplikation und die Division. Allerdings dürfte die Vorgehensweise bzw. die Technik etwas überraschen, da diese zu unseren Methoden verschieden sind. Im Nachfolgenden soll jeweils ein Beispiel zur entsprechenden Grundrechenart gegeben und erörtert werden. 4.1. Beispiel zur Addition: Dieses Beispiel der Addition bei Brüchen liefert uns der mathematische Papyrus Rhind, Aufgabe 22 (Quelle Kemet 4/2000): 2/3 + 1/5 + 1/10 + 1/30 = 1 10 6 3 1 Die darunter stehenden Zahlen scheinen – so Kamel 2000 – erste Anzeichen des Versuchs den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden, denn 10x 3 = 30; 5 x 6 = 30; 10 x 3 = 30 und 30 x 1 = 30. Allerdings kann diese Methode noch nicht als konsequentverstanden worden sein, da bereits 11 Aufgaben weiter diese Technik verworfen, bzw. eine andere angewendet worden. 4.2. Beispiel zur Multiplikation: Die Multiplikation lief etwas anders ab als bei uns heute. Die Basis dafür stellte der Umgang mit Spalten und Zeilen dar. Die Multiplikation lief durch Verdopplung und Addition ab. Zum einfacheres Verständnis wird zunächst ein Beispiel vorgeschaltet: 11 x 12 = 132 (Beispiel aus Kemet 4/2000) 1. Schritt: lege zunächst eine Tabelle an:
Verdopple anschließend die 2, dann das Ergebnis (4), dann deren Ergebnis (8):
Der
nächste Schritt wäre nun die Verdopplung der 8. Die Verdopplung darf
aber nur so lange vollzogen werden, wie der Multiplikator (11) nicht überschritten
wird. Da bei Verdopplung der Zahl 8, das Ergebnis 16 wäre, und 16 größer
als 11 ist, geht das nicht mehr. Der erste Schritt ist erledigt. 2.
Schritt: Markiere die Zeilen, in
welchen die Summe der Zahlen in der linken Spalte gleich dem Multiplikator
(11) sind:
In diesem Falle sind das die Spalten 1, 2 und 4 denn 1+2+8= 11. Hätten wir den Multiplikator 12 dann müssten lediglich die Zeilen 3 und 4 markiert werden. 3.
Schritt: Das Ergebnis ist nun die
Summe der Zahlen der rechten Spalte in den markierten Zeilen. In unserem
Beispiel wäre das 12 + 24 + 96 = 132. Wäre nun der Multiplikator 12
gewesen ( Aufgabe 12 x 12 = 144) müssten
wir die dann markierten Zeilen 3 und 4 addieren: 48 + 96 = 144. Bei höheren Zahlen benutzen die Ägypter aber auch die Verzehnfachung um auf einfacherem Weg zum Ergebnis zu gelangen. Beispiel:
14 x 70 = 980
In diesem Falle wurde zunächst die Verzehnfachung errechnet und anschließend der konventionelle Weg – wie oben beschrieben – durchgeführt.
4.3 Division: Die Division wurde nach dem
selben Prinzip durchgeführt. Als
Beispiel errechnen wir 132 : 11 = 12
In der Aufgabe 50 des mathematischen Papyrus Rhind wird eine Methode zur Kreisberechnung beschrieben. Daraus geht hervor, dass die Alten Ägypter den Flächeninhalt eines Kreises bestimmten, indem sie das Quadrat über 8/9 des Durchmessers des Kreises nutzen. Dieses Ergebnis entspricht einem Wert von 3,1605 für die Zahl Pi. Zusammengefasst ergibt sich damit eine Abweichung – unserer zahl Pi – von nur 0,6 %. Der Schreiber des Papyrus subtrahierte zunächst 1/9 des Durchmessers. Anschließend wurde der Rest quadriert, woraufhin man die gewünschte Fläche erhielt. In unserem mathematischen Verständnis würde diese Aufgabe folgendermaßen lauten: F= (8/9 d)² = (8/9)² d² Bei
Vergleich mit der uns bekannten Formel ergibt sich demnach: F
= π r² =
π/4 d², daraus ergibt sich dann: π = 4 x (8/9)² = 3,1605 Damit ergibt sich wie oben erwähnt eine Abweichung von 0,6 % zu unserem Wert (Pi) π mit 3,1427 Laut Kamel in Kemet 4/2000 wurde der Wert π von den Alten Ägyptern sehr gut verstanden, was sich nicht nur an der aufgeführten Aufgabe zeigte sondern ebenso an weiteren Aufgaben des MPR (exemplarisch Aufgabe 10). Die Wert für π wurde des weiteren für Kugel- und Kreisaufgaben verwendet. Allerdings ist noch nicht ganz klar wie die Alten Ägypter auf den Bruch 8/9 kamen. Auf eine Möglichkeit weist der MPR hin: nämlich durch den Vergleich des Oktagons mit der Fläche des umschriebenen Quadrates. Andere Möglichkeiten der Annäherung an den Zahlwert Pi geben exemplarisch Maxbauer (1927), der vermutet, dass die Erklärung der Annäherung bzw. des Verhältnisses aus dem Vergleich von wassergefüllten zylindrischen und quaderförmigen Behältern hervorging.
Dass die Ägypter die Grundrechenarten beherrschten dürfte wohl
kaum jemanden verwundern. Anders wir dies bereits durch die Bruchrechnung
und die Komplexität der Vorgehensweise. Um Brüche zu kennzeichnen wurde
die Hieroglyphe für r Wenn
die Ägypter demnach etwa 2/10 schreiben wollten taten sie dies so:
Allerdings durfte – so A. Kamel in Kemet
4/2000 – kein Bruch doppelt verwendet werden. Dies bedeutet, dass 2/9
nicht als 1/9 + 1/9 errechnet wurde, sondern als 1/6 + 1/18.
Regeln zur Bildung der ägyptischen Brüche nach A. Kamel (4/2000) Die nachfolgenden Schritte demonstrieren wie man aus einem konventionellen Bruch, „ägyptische Brüche“ darstellen kann:
Nun wenden wir diese Methode auf den exemplarischen Bruch 521/1051 an:
Im Papyrus Rhind wurde die sogenannte 2/n Tabelle genutzt, nach welcher die Bereiche von 2/3 bis 2/101 abgedeckt wurden. Innerhalb dieser Tabelle wurden jedoch keine Brüche – wie 2/4 oder 2/6, etc. - die nach unserem Verständnis „gekürzt“ werden können abgebildet. Diese Tatsache lässt den Schluss zu, dass die alten Ägypter bereits über das Wissen „Brüche zu kürzen“ verfügten. In der 2/n Tabelle ist zum Einen erkennbar, dass das Wissen über die Existenz der sogenannten Primzahlen verfügbar war. Brüche die eine Primzahl (= Zahlen die nur durch sich selbst oder 1 teilbar sind – etwa 3, 17 oder 43) als erste Zahl im Nenner hatten wurden wie folgt zerlegt (das „i“ steht für eine beliebige Zahl) Beispiel: 2/3i = 1/2i + 1/6i Dies bedeutet etwa für i = 3 (wobei man 3 x
i rechnen muss): Den Bruch den ich darstellen will lautet 2/9
(da 3 x 3 = 9). Er lässt sich errechnen durch 1/6 (da 2 x 3 = 6) +
1/18 (da 6x 3 = 18). Zusammengefasst: 2/9 = 1/6 + 1/18. Ein weiteres Beispiel:
für i = 5 ; dann lässt sich der Bruch folgendermaßen aufspalten: 2/15 = 1/10 + 1/30
Weitere Primzahlen wurden jedoch nicht aufgezählt. Die Tabelle endete bei 101, behandelte aber die Brüche 2/55, 2/35, 2/91 und 2/95 auf einer falschen Art und Weise, da sie hierfür eigene Lösungen verwendeten. Im Folgenden wird die 2/n Tabelle nach Kemet 4/2000 aufgeführt:
Die Ägypter benutzen in konsequenter Form einige Bezeichnungen für verschiedene Begriffe. Diese werden im Folgenden tabellarisch aufgelistet.
Wenn man von der Annahme ausgeht, dass die
Griechen die „klugen Köpfe“ der Mathematik waren, so liegt man
falsch. Aus dem genannten mathematischen Papyri und anderen Dokumenten
geht eindeutig hervor, dass sich die Ägypter auch mit der Geometrie und
der Arithmetik beschäftigten. Selbst die Grundlagen für die Berechnung
der Fläche einer Halbkugel gehen auf die Ägypter zurück – wie etwa
aus der Aufgabe 10 des mathematischen Papyrus Moskau zu ersehen ist –
und nicht etwa erst auf Archimedes. Sie konnten des weiteren bereits
Volumina, Flächen und Neigungen
berechnen. Für die intensive Beschäftigung mit der fraktalen
Geometrie der Ägypter empfehle ich die Homepage: http://www.geo-pyramiden.de
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Hier sehen wir zum Einen 2 mal die 10 und 4 mal die Hieroglyphe für die
Zahl 1. Die „Stapelung“ der Zeichen basiert auf dem Versuch der Ästhetik
der Schreibung.
. Wie
vielleicht auffällt können wir auf diese Art und Weise lediglich Brüche
schreiben, deren Zähler = 1 ist.
,
1/3 
,
2/3 
und ¾ 
.
